Πυθαγορισμός και Τετρακτύς

Για κάθε εγχείρημα σχετικά με τη φιλοσοφία συνηθίζεται βέβαια, όλοι οι μυαλωμένοι τουλάχιστον άνθρωποι, να επικαλούνται το Θεό, για τη φιλοσοφία όμως του θείου Πυθαγόρα, που δίκαια φέρει τ’ όνομά του, ταιριάζει να γίνει αυτό πολύ περισσότερο γιατί, αφού αυτή στάλθηκε αρχικά από τους θεούς, δεν είναι δυνατόν να γίνει κατανοητή με άλλον τρόπο παρά μόνον με τη βοήθειά τους. (1)

Ακολουθώντας, λοιπόν, κι εγώ τη συμβουλή του Νεοπλατωνικού Ιαμβλίχου αρχίζω με τη δική μου επίκληση:

Καὶ τὰ μὲν περὶ θεῶν ταύτῃ παρακεκλήσθω. Tὸ δ’ ἡμέτερον παρακλητέον, ἡ ῥάστ’ ἂν ὑμεῖς μεν μάθοιτε, ἐγώ δε ᾖ διανοοῦμαι μάλιστ’ ἂν περὶ τῶν προκειμένων ἐνδειξαίμην.

Δηλαδή:   «Αυτή ας είναι η παράκλησή μας προς τους θεούς, όσο για μας, ας τους παρακαλέσουμε να μας βοηθήσουν, ώστε εσείς μεν να καταλάβετε εύκολα αυτά που θα σας πω, εγώ δε να καταφέρω να σας εξηγήσω όσο πιο καθαρά μπορώ τις απόψεις μου σχετικά με το θέμα της συζήτησής μας».

Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλλην φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατ’εξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών, δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις και ήταν ιδρυτής ενός μυητικού φιλοσοφικοθρησκευτικού κινήματος που λέγεται Πυθαγορισμός (Pythagorism ή Pythagoreanism). Οι περισσότερες πληροφορίες για τη ζωή του και τον Πυθαγορισμό γράφτηκαν πολλούς αιώνες μετά το θάνατό του, από Πυθαγορείους και μεταδόθηκαν κυρίως από τον Πορφύριο και τον Ιάμβλιχο.

Γεννήθηκε σε χρονολογία που δεν μας είναι γνωστή, αλλά που εικάζεται πως είναι το 570 π.Χ. και ως επικρατέστερος τόπος γεννήσεως παραδίδεται η νήσος Σάμος.
Για τον τόπο γεννήσεώς του λέγεται ότι ο Αγκαίος, από τη Σάμη της Κεφαλληνίας συγκέντρωσε αποίκους από πολλά μέρη της Ελλάδος και πιστός στο χρησμό που έλαβε από την Πυθία αποίκισε το νησί που ήταν μεσοπέλαγα και ονομαζόταν Φυλλίς μετονομάζοντάς το σε Σάμο, αντί της πόλεώς του Σάμης.
Λέγεται επίσης, ότι ο Μνήμαρχος και η Παρθενίδα, οι γονείς του Πυθαγόρα ήταν απόγονοι του Αγκαίου. Αναφέρεται ότι κάποτε που ο Μνήμαρχος πήγε στους Δελφούς για να ρωτήσει το μαντείο για κάποιες επιχειρήσεις του στη Συρία, η Πυθία τού ανέφερε ότι η Παρθενίδα ήταν έγκυος και θα γεννούσε γυιο που θα υπερείχε στην ομορφιά και τη σοφία και θα βοηθούσε το ανθρώπινο γένος με τις γνώσεις του. Μετά από αυτό το συμβάν ο Μνήμαρχος ονόμασε τη γυναίκα του, από Παρθενίδα, Πυθαΐδα και το γυιο του, που γεννήθηκε, Πυθαγόρα.
Κάποιου μάλιστα Σάμιου ποιητή έμεινε το απόσπασμα το οποίο έλεγε:

«Τον Πυθαγόρα, που γέννησε στον Απόλλωνα, του Δία αγαπημένο, η Πυθαΐδα, η ομορφότερη απ' όλες τις Σαμίες».

Για την πρώτη μόρφωσή του φρόντισαν οι καλλίτεροι προϊστάμενοι των ιερών της εποχής του: ο Κρεόφυλος και ο Φερεκύδης από τη Σύρο. Με τη συνοδεία κάποιου απογόνου του Κρεοφύλου πήγε στο φυσικό φιλόσοφο Αναξίμανδρο και στο Θαλή στη Μίλητο, ο οποίος  τον προέτρεψε να πάει στην Αίγυπτο.
Εκεί έμεινε 22 χρόνια στα άδυτα των ναών της Αιγύπτου ασχολούμενος με την αστρονομία και τη γεωμετρία και μυούμενος σε όλα τα μυστήρια των θεών, ώσπου αιχμαλωτίστηκε από τους άνδρες του Καμβύση και μεταφέρθηκε στη Βαβυλώνα.
Εκεί ήρθε με χαρά του σε επαφή με τους μάγους φθάνοντας μαζί τους στην κορυφή της επιστήμης των αριθμών και της μουσικής μένοντας 12 χρόνια. Επέστρεψε στη Σάμο 56 ετών περίπου.
Στην Ελλάδα επισκέφθηκε τη Δήλο τιμώντας τον αναίμακτο βωμό του Γενέτορος Απόλλωνος και παρέμεινε στην Κρήτη και στη Σπάρτη για να εξετάσει τους νόμους τους.
Επιστρέφοντας στη Σάμο δημιούργησε τόπο διδασκαλίας, το λεγόμενο ακόμα και σήμερα ‘ημικύκλιο’ του Πυθαγόρα στο οποίο ακόμη και σήμερα οι Σάμιοι κάνουν τις συσκέψεις τους.

 Έξω, μάλιστα από την πόλη έφτιαξε μια σπηλιά όπου περνούσε τον περισσότερο χρόνο του, μιμούμενος το Μίνωα, ερευνώντας ό,τι ήταν χρήσιμο στα μαθηματικά. Λόγω όμως της αδιαφορίας των κατοίκων τής Σάμου για την παιδεία και θέλοντας ν’αποφύγει τις πολιτικές ασχολίες μετακόμισε σε μία ελληνική αποικία, στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας, το 530 π.Χ.
Εκεί δημιούργησε μία κοινότητα η οποία στεγαζόταν σ’ ένα μεγάλο οίκημα, το Ομακοείον, όπου ο Πυθαγόρας δίδασκε τους - και των δυο φύλων - μαθητές του.
Η διδασκαλία γινόταν με προφορικό τρόπο και οι προϋποθέσεις για την είσοδο των μαθητών ήταν αυστηρές.
Ο μαθητής έπρεπε να υιοθετήσει έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο ζωής, ν’ ασκηθεί στην εγκράτεια, να τηρεί απόλυτη σιωπή για κάποια έτη, ν’ απέχει από συγκεκριμένες τροφές και να κάνει καθαρμούς.

Οι υποστηρικτές του Πυθαγόρα ακολούθησαν τις πρακτικές που ανέπτυξε και μελέτησαν τις φιλοσοφικές του θεωρίες. Τα μέρη συνάντησης, όμως των Πυθαγορείων κάηκαν, γιατί δημιουργήθηκε ψευδής φήμη ότι οι Πυθαγόρειοι ήθελαν να διοικήσουν τις ιταλικές πόλεις και ο Πυθαγόρας αναγκάστηκε να μην επιστρέψει στον Κρότωνα επειδή την περίοδο αυτή βρισκόταν στην Ελλάδα, πιθανόν για το θάνατο του διδασκάλου του Φερεκύδη. Πέθανε στο Μεταπόντιον της Ιταλικής Λευκανίας σε μεγάλη ηλικία, περί το 500 - 490 π.Χ.
Εικάζεται ότι το Πυθαγόρειο σύμβολο τής μεταξύ τους αναγνωρίσεως είναι ένα από τα δύο που παρουσιάζω. Μία σκέψη μου είναι ότι αν μέσα σε αυτό το δεύτερο σύμβολο
                     

τοποθετήσουμε το Βιτρούβιο του Λεονάρντο Ντα Βίντσι θα συμπέσει με τις προεκτάσεις τού συγκεκριμένου συμβόλου και θα περιλάβει την ύπαρξή μας σε συμπαντικό επίπεδο.

  Στον Πυθαγόρα αποδίδονται οι βασικές ιδέες της «θεωρίας» του «κόσμου» και της «κάθαρσης», ιδέες που συνέχουν τις δύο τάσεις της Πυθαγόρειας σχολής, την επιστημονική και τη θρησκευτική.
O Αέτιος λέει πως ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη «κόσμος», αποδίδοντάς της την έννοια τής «του όλου περιοχής». Την άποψη του Αετίου αμφισβητούν οι Kirk και Raven, υποστηρίζοντας πως ο Πυθαγόρας χρησιμοποιούσε τη λέξη «κόσμος» με την έννοια της τάξεως του σύμπαντος, με την οποία θα συμφωνήσω στη συνέχεια του άρθρου.
Στοχαζόμενος την αρχή της τάξεως, που αποκαλύπτεται ότι διέπει το σύμπαν και ρυθμίζει την κίνηση των ουρανίων σωμάτων και εφαρμόζοντας την κοσμική τάξη στον εσωτερικό του κόσμο, ο άνθρωπος μπορεί προοδευτικά ν’ αποκτήσει «αθανασία».

Μια πολύ σημαντική ανακάλυψη που έκανε ο Πυθαγόρας είναι η αριθμητική ερμηνεία του σύμπαντος.
Μετρώντας τα κατάλληλα μήκη της χορδής ενός μονόχορδου, διαπίστωσε πως τα σύμφωνα μουσικά διαστήματα μπορεί να εκφρασθούν σε απλές αριθμητικές αναλογίες των τεσσάρων πρώτων ακεραίων αριθμών, οι οποίοι περιέχονται στην Τετρακτύν του.
                              
                                                                                 

Στον Πυθαγόρα αποδίδονται οι αριθμητικοί λόγοι της οκτάβας (1/2, δια πασών), της τετάρτης καθαρής (3/4, συλλαβά), της πέμπτης καθαρής (2/3, δι' οξείαν) και του μείζονος τόνου (8/9, επογδόου), που είναι η διαφορά μεταξύ τετάρτης καθαρής και πέμπτης καθαρής.
Ο Ιάμβλιχος διηγείται ότι ο Πυθαγόρας περνώντας μπροστά από ένα σιδηρουργείο και ακούγοντας τις σφυριές πάνω στο αμόνι, αναγνώρισε τις τρεις συμφωνίες τετάρτης, πέμπτης και ογδόης.

Εικάζοντας ότι οι διαφορές των ήχων σχετίζονταν με τα βάρη των σφυριών, τα ζύγισε και βρήκε ότι εκείνο που έδινε τον ήχο της 8^ης ζύγιζε το μισό του βαρύτερου, εκείνο που παρήγαγε την 5^η ζύγιζε τα δύο τρίτα του βαρύτερου κι εκείνο που έδινε την 4^η ζύγιζε τα τρία τέταρτα του βαρύτερου.
Είχε την ιδέα να επαναλάβει το πείραμα στο μονόχορδο αναπαράγοντας τις ίδιες αρμονικές σχέσεις.

         Α                Γ                 Δ                 Ε                    Β
        ....................................................................................
       

                                                                              

Στερεώνοντας μ’ ένα βάρος μιά τεντωμένη χορδή ΑΒ πάνω στο σχήμα και διαιρώντας την σε τέσσερα ίσα μέρη   ΑΓ = ΓΔ = ΔΕ = ΕΒ  ανακάλυψε ότι χτυπώντας ολόκληρη την ΑΒ χορδή άκουγε  έναν ήχο τάδε, αν χτυπούσε το κομμάτι  ΓΒ, βάζοντας βέβαια το δάκτυλό του στην ταστιέρα, που είναι τα 3/4 του ΑΒ τότε  άκουγε  την τετάρτη του φθόγγου που άκουσε αρχικά . Γιατί για να βρούμε τη σχέση δύο ήχων που παράγονται από τη μεταβολή του μήκους μιας χορδής διαιρούμε το ολικό μήκος της χορδής ΑΒ με το μήκος που την κάθε φορά έχουμε επιλέξει βάζοντας το δάχτυλό μας στην ταστιέρα. Δηλαδή χρησιμοποιούμε  το  κλάσμα:

                     ολικό  μήκος χορδής

             ------------------------------------------                                                  
                  μεταβλητό μήκος χορδής                                    

έτσι  βλέπουμε ότι  αν π.χ θέλουμε να βρούμε τη σχέση της ανοιχτής χορδής ΑΒ με το μήκος ΓΒ διαιρούμε ΑΒ/ΓΒ κι έχουμε:

      
     ΑΒ               ΑΒ                      1            4 
 ----------- = ---------- = --------- = ------          

     ΓΒ              ¾ ΑΒ                3/4          3

Δηλαδή όταν χτυπάμε τα 3/4 της χορδής ΑΒ τότε ακούγεται η τετάρτη του ήχου  που ακούγεται όταν χτυπάμε την ΑΒ ολόκληρη. Αν δηλαδή η ΑΒ χτυπιέται και  βγάζει ήχο ντο, τότε το  κομμάτι της, το ΓΒ που είναι τα 3/4  της αν χτυπηθεί θα  βγάλει ήχο φα.
Έτσι πάντα όποιον και να’ χουμε για τονική στα μαθηματικά της αρμονίας το λέμε 1.

Η τετάρτη λοιπόν, αυτού του 1 θα είναι το 4/3. Ο λόγος αυτός 4/3 λέγεται  επίτριτος γιατί είναι 1+1/3. Δηλ. το ένα συν το ένα τρίτο του ενός.

Το  διάστημα  λέγεται  τετράχορδον  ή  διά  τεσσάρων .

 Τώρα αν χτυπήσουμε το κομμάτι ΔΒ που είναι το μισό της ΑΒ χορδής  θα έχουμε:

                          ΑΒ               ΑΒ               2 ΑΒ                2

                  ------------ =  ---------- =  ---------- = ------- = 2

                         ΔΒ              ΑΒ/2               ΑΒ                 1
άρα χτυπώντας το μισό μήκος της χορδής παράγεται η διά πασσών δηλ. έχουμε το  διάστημα μίας οκτάβας. Γιατί ακούμε τον ίδιο φθόγγο αλλά μιά οκτάβα ψηλότερα.

 Έτσι πάλι, λέμε, ότι άμα η τονική (που παράγεται απ’όλη τη χορδή ΑΒ) είναι 1  τότε η διά πασσών είναι 2.
Παρατηρείτε βέβαια, ότι όσο μικραίνει το μήκος που χτυπάμε, τόσο μεγαλώνει η  συχνότητα του ήχου που παράγεται. Έτσι αποδεικνύεται ότι είναι αντιστρόφως ανάλογα ποσά, το μήκος και ο ήχος!

Τώρα άμα χωρίσουμε την ΑΒ χορδή σε τρία ίσα  μέρη:

                                                                     
                                                   

              Α...................Ζ.....................Η.....................Β

                               

                            ΑΖ = ΖΗ = ΗΒ = ΑΒ/3                

χτυπώντας το κομμάτι ΖΒ που είναι τα 2/3 του ΑΒ θα έχουμε το διάστημα 5^ης  ή πεντάχορδον ή διά πέντε.

   


  γιατί             ΑΒ             ΑΒ                       1              3

                  ----------- = ---------- = ---------- = ---------

                       ΖΒ             2/3ΑΒ              2/3             2

Ο λόγος αυτός, το κλάσμα 3/2 λέγεται ημιόλιος γιατί είναι το όλον (1) και το  ήμισυ του όλου (½).

                                    1+1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2. 

Είναι η συχνότητα του φθόγγου που παράγει το διάστημα 5^ης με την τονική. Δηλαδή αφού η τονική έχει συχνότητα 1, τότε ο φθόγγος με συχνότητα 3/2 είναι η  πέμπτη της τονικής. Άρα άμα βάλουμε τονική το Ντο (1) τότε το Φα θα είναι 4/3   και το Σολ θα είναι 3/2.
Δεν θα ήθελα να σας κουράσω περισσότερο, συνεχίζοντας όμως και ενώνοντας τα κλάσματα που δημιουργούσαν νότες δημιούργησε όλη τη μουσική κλίμακα.

Έτσι έχουμε τη γνωστή μας λατινική, διατονική κλίμακα:

  ντο      ρε         μι         φα      σολ         λα              σι         ντο

  1        9/8     81/64      4/3     3/2       27/16    243/128     2

 Στα Ελληνικά οι ονομασίες αυτές είναι διαφορετικές και είναι οι  εξής :

Τονική Επιτονική  Μέση  Υποδεσπόζουσα  Δεσπόζουσα  Επιδεσπόζουσα   Εισαγωγέας   Ογδόη

     1             9/8         81/64             4/3                            3/2                       27/16                  243/128            2

Στα Αρχαία Ελληνικά όμως, οι ονομασίες  αυτών των φθόγγων είναι :
 

    Υπάτη  Παρυπάτη  Λιχανός Μέση  Παραμέση  Παρανήτη  Νήτη  Υπάτη
       Ντο           ρε                 μι            φα            σολ                 λα               σι                ντο 

           1           9/8             81/64     4/3            3/2               27/16        243/128      2
Το ενδιαφέρον του Πυθαγόρα για τη μουσική αρμονία οδηγεί στη σκέψη σε αυτόν ν’ αποδοθεί και η θεωρία της «Αρμονίας των Σφαιρών».  Ήχους των πλανητών μπορείτε να βρείτε στο διαδίκτυο από τις καταγραφές του διαστημοπλοίου Voyager όταν περνούσε σε κοντινή απόσταση από τους πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος.
Τώρα βέβαια βρίσκεται έξω πλέον, από το ηλιακό μας σύστημα, όπως αναφέρει η NASA.

Ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι, όπως ανέφερα απέδιδαν πολύ μεγάλη σημασία στα Μαθηματικά, πρεσβεύοντας ότι αυτά αποτελούν την οδό για την απελευθέρωση της ψυχής. Βάσει της πεποίθησης του Πυθαγόρα πως «τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων», οι Πυθαγόρειοι απέδωσαν στην Αριθμητική μέγιστη σημασία, μελετώντας τις ιδιότητές της.

Καθώς δε ο αριθμός είναι κάτι που δε γίνεται αντιληπτό μέσω της αισθήσεως, αλλά μέσω της νοήσεως, οι Πυθαγόρειοι αναγκάστηκαν να παύσουν να θεωρούν την ουσία των όντων ως υλική και προσιτή στις αισθήσεις.
Αντιθέτως η ουσία γίνεται αντιληπτή, κατά τους Πυθαγορείους, μόνον μέσω της αφηρημένης σκέψεως. Έτσι κατόρθωσαν να προβούν σε μια πρώτη βασική ταξινόμηση κατηγοριοποιώντας τους αριθμούς σε «άρτιους» και «περιττούς».

Άρτιοι:  2, 4, 6, 8, 10, 12 κ.λ.π.

Περιττοί:  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 κ.λ.π.

Έτσι ένας άρτιος αριθμός απεικονιζόταν με μια σειρά ψηφίων που μπορούσε να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη, ενώ το αντίθετο συνέβαινε μ’έναν περιττό.
Ας ακούσουμε από τα βάθη των αιώνων ένα απόσπασμα της Περικτιόνης τῆς Πυθαγορείας από το «Περὶ Σοφίας».

«Γαμετρία μὲν ὦν καὶ ἀριθμητικά καὶ τἄλλα τὰ θεωρητικὰ καὶ ἐπισταμονικὰ περί τινα τῶν ἐόντων κατασχολέονται, ἁ δὲ σοφία περὶ πάντα τὰ γένεα τῶν ἐόντων. Οὕτως γὰρ ἔχει σοφία περὶ πάντα τὰ ἐόντα, ὡς ὄψις περὶ πάντα τὰ ὁρατά, καὶ ἀκοὰ περὶ πάντα τὰ ἂκουστά. Τὰ δὲ συμβεβακότα  τοῖς ἐοῦσιν ἅ μὲν καθόλῳ πᾶσι συμβέβακεν, ἃ δὲ πλείστοις αὐτῶν, ἃ δὲ καὶ ἑνὶ ἑκάστῳ. Τὰ μὲν ὦν καθόλῳ πᾶσι συμβεβακότα συνιδὲν καὶ θεωρῆσαι τᾶς σοφίας οἰκῇον, τὰ δὲ τοῖς πλείστοις τᾶς περὶ φύσιν ἐπιστάμας, τὰ δ’ ἴδια καθ’ ἕκαστον τᾶς περί τι ἀφωρισμένον ἐπιστάμας. Καὶ διὰ τοῦτο σοφία μὲν τὰς τῶν ἐόντων ἁπάντων ἀρχὰς ἀνευρίσκει, φυσικὰ δὲ τὰς τῶν φύσι γινομένων γαμετρία δὲ καὶ ἀριθμητικὰ καὶ μωσικὰ τὰς περὶ τὸ ποσὸν καὶ τὸ ἐμμελές. Ὅστις ὦν ἀναλῦσαι οἷος τ’ ἐντὶ πάντα τὰ γένεα ὑπὸ μίαν καὶ τὰν αὐτὰν ἀρχάν, καὶ πάλιν ἐκ ταύτας συνθεῖναι καὶ ἀρτίσασθαι, οὗτος δοκεῖ καὶ σοφώτατος ἦμεν καὶ παναλαθέστατος, ἔτι δὲ καὶ καλὰν σκοπιὰν ἀνευρηκέναι, ἀφ’ ἇς δυνατὸς ἐσσεῖται τόν τε θεὸν κατοψεῖσθαι καὶ πάντα τὰ ἐν τᾷ συστοιχίᾳ τε καὶ τάξι τὰ ἐκείνῳ κατακεχωρισμένα»(2).

«Η γεωμετρία, λοιπόν, και η αριθμητική και τ’ άλλα θεωρητικά κι επιστημονικά ασχολούνται [...] με ορισμένα από τα όντα, ενώ η φιλοσοφία με όλα τα γένη των όντων, διότι η φιλοσοφία σχετίζεται με όλα τα όντα κατά τον τρόπο που η όραση σχετίζεται με όλα τα ορατά, και η ακοή με όλα τ’ ακουστά. Απ’ όσα συμβαίνουν στα όντα, άλλα συμβαίνουν εξ ολοκλήρου σε όλα, άλλα στα περισσότερα απ’ αυτά, και άλλα στο κάθε ένα απ’ αυτά. Χαρακτηριστικό της φιλοσοφίας είναι να γνωρίζει και να εξετάζει όσα συμβαίνουν εξ ολοκλήρου σε όλα, και της φυσικής επιστήμης όσα συμβαίνουν στα περισσότερα, και της κάθε μίας ξεχωριστής επιστήμης όσα συμβαίνουν στο κάθε ένα απ’ αυτά. Γι’ αυτό, λοιπόν, η φιλοσοφία ανευρίσκει τις αρχές όλων των όντων, η φυσική επιστήμη όσων γίνονται εκ φύσεως, η γεωμετρία και η αριθμητική και η μουσική τις αρχές τής ποσότητας και τής αρμονίας. Όποιος, λοιπόν, δύναται ν’ αναλύσει όλα τα γένη κάτω από μία και την ίδια αρχή, και πάλι από αυτήν να τα συνθέσει και να τα συναρμόσει, αυτός μού φαίνεται ότι είναι και πολύ σοφός και πολύ αλάνθαστος, και ακόμη ότι έχει βρει μία ωραία σκοπιά, από την οποία θα δύναται και τον Θεό να δει, και όλα όσα βρίσκονται τοποθετημένα στην συστοιχία και στην τάξη τού Θεού».

Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως η Ψυχή δε χάνεται με το θάνατο, αλλά ακολουθεί μια συνεχή διαδικασία ενσάρκωσης, σε κατώτερες ή ανώτερες μορφές ζωής κάθε φορά, έως ότου επιτευχθεί η τελική κάθαρση που οδηγεί τελικά στην αθανασία της. Γι' αυτό, τόσο με τα διδάγματα όσο και με τις ασκήσεις πειθαρχίας, καλλιεργούσαν τη φιλοσοφία της οποίας σκοπός ήταν να καθαρίσει και ν’ απελευθερώσει το συσκοτισμένο νου από τα δεσμά του. Πίστευαν ότι μόνον ο νους μπορεί να φθάσει στη γνώση της Αλήθειας για τους Θεούς και τον κόσμο. Και ότι για να συμβεί αυτό χρειάζεται να τιθασευτούν οι ορμές του σώματος και η ταραχή που προκαλούν τα ερεθίσματα των αισθήσεων, ώστε να φθάσει κάποιος σε σταθερή ευδιαθεσία κι εγκράτεια, απαλλαγμένος από πάθη κι ελαττώματα.

Η διδασκαλία του Πυθαγόρα μπορεί, λοιπόν να διακριθεί σε δύο είδη:

α) Εκείνη με αντικείμενο την ηθική διαμόρφωση για βελτίωση της ψυχής και

β) εκείνη με αντικείμενο τη γεωμετρία και την αριθμητική για να μελετήσουμε την επιστήμη της αρμονίας των ουρανίων σωμάτων.

Συνιστούσε να προσέχει κανείς ιδιαίτερα, δύο στιγμές της καθημερινής του ζωής. Όταν πήγαινε για ύπνο και όταν σηκωνόταν από τον ύπνο.

Έλεγε μάλιστα, ποτέ να μην κοιμηθεί κάποιος αν δεν επισκοπήσει τη ζωή του κατά τη διάρκεια της ημέρας εξετάζοντας: τί παρέβηκα, τί έκανα σωστό και τί έπρεπε να κάνω και δεν το έκανα.
Ο Πορφύριος αναφέρει μερικά από αυτά τα συμβολικά παραγγέλματα, μαζί με τις ερμηνείες που είτε ο ίδιος απέδιδε, είτε είχαν παραδοθεί μέχρι την εποχή του από άλλους:

- να μην υπερβαίνεις τον ζυγό (να μην πλεονεκτείς).
- να μην σκαλίζεις τη φωτιά με μαχαίρι (να μην προκαλείς τον οργισμένο με λόγους οξείς).
- να μην μαδάς τον στέφανο (να μην κακομεταχειρίζεσαι τους νόμους, που είναι τα στέφανα της πόλεως).
- να μην τρως την καρδιά σου (να μην φθείρεις τον εαυτό σου με θλίψεις και στεναχώριες).
- να μην κάθεσαι πάνω σε "χοίνικα" (να μην ζεις σαν τεμπέλης).
- όταν αποδημείς να μην θέλεις να επιστρέψεις (να μην προσκολλάσαι στη ζωή όταν πεθαίνεις).
- να μην βαδίζεις στις λεωφόρους αλλά στα μονοπάτια (να μην ακολουθείς τις γνώμες των πολλών, αλλά τις γνώμες των λογίων και μορφωμένων).
- να μην δέχεσαι χελιδόνια στον οίκο σου (να μην κάνεις φίλους ανθρώπους φλύαρους και ακρατείς στη γλώσσα).
- σύνδραμε στο να σηκώσει κάποιος ένα φορτίο, μη συνδράμεις στο να το αποθέσει. (να μην παροτρύνεις κανέναν στη μαλθακότητα και την τεμπελιά, αλλά να συντελείς στην εργασία και την αρετή).
- κυάμων απέχου (να μην συμμετέχεις σε εκλογή με κυάμους – κουκιά - διότι στην δημοκρατία εκλέγονται λαοπλάνοι, φαφλατάδες και όχι σοφοί άνθρωποι)
- τις εικόνες των Θεών, μην φοράς σε δακτυλίδια (την γνώμη και τους λόγους σου για τους Θεούς, μην τις κάνεις πρόχειρα και φανερά ούτε να τις προφέρεις μπροστά στους πολλούς).

Μεγάλη δε σημασία απέδιδε στη διατροφή με ελαφρές τροφές, όπως ο κρίθινος άρτος, τα λαχανικά, το μέλι και οι φρέσκοι ή αποξηραμένοι καρποί. Έλεγε πως δεν πρέπει κανείς να τρώει το παράγον μαζί με το παραγόμενο (π.χ. κοτόπουλο και αυγό) και ν’ αποφεύγει σχεδόν όλα γενικώς τα θαλασσινά. Δίδασκε την πλήρη αποχή από την κρεοφαγία με εξαίρεση το κρέας της ιεροθυσίας, δηλαδή κρέας από σφάγια που θυσιάστηκαν κι αυτό όχι από κάθε μέρος του ζώου αλλά ν’ αποφεύγουν τη μέση, τους όρχεις και τα αιδοία, τον μυελό, τα πόδια και το κεφάλι. Σπάνια δε ο ίδιος θυσίαζε έμψυχα και συχνότερα προσέφερε κριθάλευρο, πλακούντες, στεφάνους ανθέων και θυμιάματα.
Ο Πορφύριος, επίσης, καταγράφει την παραδοθείσα εκδοχή ότι κάποια φορά που ο Πυθαγόρας θυσίασε βόδι από ζυμάρι, ανακάλυψε ότι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου έχει την ίδια δύναμη με τις πλευρές που την περιέχουν. Αυτό έμελλε να γίνει γνωστό ως το Πυθαγόρειο θεώρημα, ένα θεώρημα γεωμετρίας σύμφωνα με το οποίο σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας (η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία) είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών, .

                               

Η τελευταία αναφορά του ονόματος του Πυθαγόρα σε σχέση με το θεώρημα βρέθηκε πέντε αιώνες μετά το θάνατό του, σε έργα του Κικέρωνος και του Πλουτάρχου και η ανακάλυψή του βοήθησε τους Πυθαγορείους σαν σημαντικό εργαλείο μελέτης των αρρήτων μεγεθών (άρρητοι αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που δεν εκφράζονται ως λόγος ακεραίων, όπως η τετραγωνική ρίζα του 2).
Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι πιθανόν ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε χωρίς να είναι ρητός. Η ανακάλυψη έγινε πιθανότατα από τον πυθαγόρειο, φιλόσοφο Ίππασσο, ο οποίος μάλλον δολοφονήθηκε με πνιγμό γι’ αυτήν του την ανακάλυψη. Σύμφωνα με τους Πυθαγορείους κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος αλλά η ανακάλυψη του Ιππάσου αποδείκνυε ότι αυτό δεν ισχύει. Μετά από μερικά χρόνια οι Πυθαγόρειοι βρήκαν τρόπο να περιγράφουν άρρητους αριθμούς αναδρομικά, ώστε να μοιάζουν με κλάσματα. Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα τού 2 μπορεί να γραφτεί στην εξής αναδρομική κλασματική μορφή:

                                   

Η Τετρακτύς αποτελεί την ουσία της διδασκαλίας και το ιερό σύμβολο των Πυθαγορείων.

 Αποτελείται από τους δέκα πρώτους αριθμούς(1-10) τοποθετημένους σε τέσσερις σειρές (ένας στην πρώτη σειρά, δύο στη δεύτερη, τρεις στην τρίτη και τέσσερις στην τέταρτη σειρά) όπως και στην εικόνα φαίνεται. Οπωσδήποτε δεν πρέπει να ξεχνάμε τη σχέση της Τετρακτύος με τη «Δεκάδα» γιατί αν μετρήσουμε τις κουκίδες είναι δέκα.
Λόγω της δεκάδος η Τετρακτύς αναφέρεται σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο με τα προσηγορικά ονόματα: Κόσμος (διακόσμηση, στολίδι), Παν (ο θεός Πάνας - Παν = Όλο), Ουρανός, Άτλας, Κλειδούχος, Αιών, Μνήμη, Γνώμων, Ειμαρμένη, Κράτος, Φάνης, Ήλιος, Πυθμήν κ.α.
Με τη μελέτη των εννοιών των αριθμών που υπάρχουν στην Τετρακτύν και των σχέσεων τους οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν ότι κάποιος φθάνει στην απόκτηση της σοφίας.
Από αυτούς τους πρώτους τέσσερις αριθμούς (1, 2, 3 & 4), είναι δυνατόν να κατασκευαστούν οι λόγοι: "δια τεσσάρων" (4:3, τέταρτης), "δια πέντε" (3:2, πέμπτης), "δια πασών" (2:1, Οκτάβα), που στη μουσική αποδίδουν τ' αναφερόμενα αρμονικά, μουσικά διαστήματα, που όπως είδαμε, πρώτος ο Πυθαγόρας τα καθόρισε επακριβώς με αριθμητικούς λόγους.
Οι αναλογίες αυτές δημιουργούν την Αρμονία, που για τους Πυθαγορείους έχει σημασία κυριολεκτικά, κοσμική (εξ ου και η ονομασία της "Κόσμος"). Οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν την Τετρακτύν για να ορκισθούν, επικαλούμενοι μάλιστα τον Πυθαγόρα σαν κάποιο θεό, όπως φαίνεται από τα "Χρυσά Έπη" όπου αναφέρεται:

«νὴ  μὰ  τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα τετρακτύν
παγὰν ἀενάου φύσεως, ριζώματ’ ἔχουσαν»

(ναι μα τον παραδόσαντα στην ψυχή μας την τετρακτύν,
που είναι η πηγή της αενάου φύσεως και έχει ριζώματα)(3)

Αν συνεχίσουμε την ανάπτυξη της Τετρακτύος τότε προκύπτουν οι αριθμοί 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 κ.λ.π.
Οι αριθμοί αυτοί στην Πυθαγόρεια Αριθμητική ονομάζονται Τριγωνικοί αριθμοί.

1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 κ.λ.π.

Αν προσθέσουμε τους Τριγωνικούς αριθμούς προκύπτουν οι Πυραμιδικοί αριθμοί.

1 + 3 = 4
1 + 3 + 6 = 10
1 + 3 + 6 + 10 = 20
1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56 κ.λ.π.

Απ’ ότι βλέπουμε το 10 περιλαμβάνεται στους Τριγωνικούς και στους Πυραμιδικούς αριθμούς γι’ αυτό, ενώ ο πρώτος ακέραιος αριθμός είναι το Εν δηλαδή η Μονάδα και η Ενότητα, που είναι η βάση των όλων, ο αριθμός 10 είναι ο αριθμός που αντιπροσωπεύει το Σύμπαν, το Όλον, όπως θα δούμε στη συνέχεια.
Αριθμοί που έχουν την ίδια ιδιότητα είναι μόνον ο 120, ο 1540 και ο 7140.
Οι αριθμοί κατά τους Πυθαγορείους σχετίζονται ακόμα και με τα γεωμετρικά σχήματα. Έτσι η μονάδα σχετίζεται με το σημείο, η δυάδα με τη γραμμή, η τριάδα με το τρίγωνο και η τετράδα με το τετράεδρο (ή τριγωνική πυραμίδα), το πρώτο γεωμετρικό στερεό.

. = .

..= --------------------------
...=

....=          

                                  
Επίσης η σοφία θεωρούσαν ότι αποκτιέται από τις τέσσερις εσωτερικές για τους Πυθαγόρειους επιστήμες της αριθμητικής, της μουσικής, της γεωμετρίας και της αστρονομίας.
Συνιστά, επίσης το 10 σύμβολο του Θεού Απόλλωνος και οι Πυθαγόρειοι συνέδεαν την Τετρακτύν με το Μαντείο των Δελφών, όπως φαίνεται στο σημαντικό "περί υπάρξεως άκουσμα" που αναφέρει ο Ιάμβλιχος:

«τί ἔστιν τὸ ἐν Δελφοῖς Μαντεῖον; Τετρακτύς»
(τι είναι το Μαντείο των Δελφών; Η Τετρακτύς).

Ας δούμε μαζί, στη συνέχεια κάποιες σκέψεις μου επάνω στην Τετρακτύ γιατί υπάρχει πληθώρα αναφορών στο συγκεκριμένο θέμα και δεν θα ήθελα να σας κουράσω επαναλαμβάνοντας  απόψεις τις οποίες μπορείτε να βρείτε στο διαδίκτυο αλλά να σας δώσω κάποιες δικές μου σκέψεις, αποδεικνύοντάς τις συγχρόνως, όπου χρειάζεται, μέσα από τα υπέροχα αρχαία μας κείμενα ή την επιστήμη.

ΤΟ   D.N.A.   ΚΑΙ   Η    ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ    ΤΟΥ    ΠΥΘΑΓΟΡΑ

Όλα τα έμβια όντα αποτελούνται από ΚΥΤΤΑΡΑ, όπως γνωρίζουμε, δηλαδή  μικρές μονάδες, που περιβάλλονται από μεμβράνη και είναι γεμάτες μ’ ένα πυκνό υδατικό διάλυμα χημικών ουσιών. Διαθέτουν δε την αξιοσημείωτη ικανότητα ν’ αυξάνουν και να διαιρούνται στα 2 με τη μίτωση,

                             

δημιουργώντας αντίγραφα του εαυτού τους. Οι απλούστερες μορφές ζωής είναι μονήρη κύτταρα. Ενώ τα κύτταρα αποτελούν τα συστατικά μεγαλύτερων έμβιων όντων, πραγματικό έμβιο ον δεν μπορεί να θεωρηθεί τίποτα μικρότερο από ένα κύτταρο.
Οι ιοί για παράδειγμα, περιέχουν ορισμένα από τα μόρια που υπάρχουν στα κύτταρα, αλλά αδυνατούν ν’αναπαραχθούν με τις δικές τους δυνατότητες και αντιγράφονται παρασιτικά εις βάρος του αναπαραγωγικού οργανισμού των κυττάρων, στα οποία εισβάλλουν.
Επομένως θεμελιώδεις μονάδες της ζωής είναι τα κύτταρα.
Η ζωή εξαρτάται από την ικανότητα των κυττάρων ν’ αποθηκεύουν, ν’ ανακαλούν και να μεταφράζουν τις γενετικές πληροφορίες που απαιτούνται, για τη δημιουργία και τη συντήρηση ενός ζωντανού οργανισμού.
Οι κληρονομικές πληροφορίες μεταβιβάζονται από ένα κύτταρο στα θυγατρικά του κατά την κυτταρική διαίρεση, και από γενιά σε γενιά των οργανισμών, μέσω των αναπαραγωγικών κυττάρων. Αυτές οι οδηγίες αποθηκεύονται σε κάθε ζωντανό κύτταρο, σαν γονίδια.

ΓΟΝΙΔΙΑ είναι τα πληροφοριακά γενετικά στοιχεία ,τα οποία καθορίζουν τα χαρακτηριστικά ενός είδους στο σύνολό του, αλλά και τα χαρακτηριστικά των επιμέρους οργανισμών που ανήκουν στο είδος αυτό. Ο φορέας των γενετικών αυτών πληροφοριών είναι το D.N.A.

                                       

      

Oι πρώτες ισχυρές ενδείξεις ότι τα γονίδια αποτελούνται από  D.N.A. προέκυψαν το 1944, όταν βρέθηκε ότι η προσθήκη καθαρού  D.N.A. σ’ένα βακτήριο μετέβαλε τις ιδιότητες του και ότι η μεταβολή αυτή μεταβιβαζόταν με ακρίβεια και στις επόμενες γενιές. Σήμερα το γεγονός ότι το D.N.A είναι το γενετικό υλικό είναι τόσο θεμελιώδες, ώστε είναι δύσκολο να συνειδητοποιήσουμε το τεράστιο νοητικό κενό, που κάλυψε αυτή η ανακάλυψη.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 1^ο = ΕΙΣΑΓΩΓΗ  ΤΗΣ  ΜΟΝΑΔΑΣ = ΕΝΑ  ΜΟΡΙΟ D.N.A  ΕΙΝΑΙ Η ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΑΡΧΗ ΚΑΘΕ ΕΜΒΙΟΥ ΟΝΤΟΣ.

Συνεχίζοντας την έρευνα οι επιστήμονες μπόρεσαν ν’αποκωδικοποήσουν το D.N.A και να παρουσιάσουν στη συνέχεια τα δομικά συστατικά του. Στις αρχές του 1950, το D.N.A υποβλήθηκε πρώτη φορά σε ανάλυση περίθλασης ακτίνων Χ, μια τεχνική για τον καθορισμό της τρισδιάστατης ατομικής δομής ενός μορίου .Τα πρώτα αποτελέσματα των σχετικών μελετών απέδειξαν ότι το D.N.A αποτελείται από δύο κλώνους που περιελίσσονται σε μία έλικα.

Η παρατήρηση αυτή είχε αποφασιστική σημασία. Προσέφερε μια από τις κύριες ενδείξεις που οδήγησαν το 1953, στην περιγραφή ενός ορθού μοντέλου για τη δομή του D.N.A. Μόνον όταν προτάθηκε το μοντέλο των WATSON - CRICK, έγιναν αντιληπτές οι δυνατότητες του D.N.A, γι’ αντιγραφή και αποθήκευση πληροφοριών.
Ένα μόριο D.N.A συνίσταται από 2 μακριές πολυνουκλεοτιδικές αλυσίδες, οι οποίες αποτελούνται από τέσσερα είδη νουκλεοτιδίων. Κάθε μία από τις αλυσίδες αυτές αναφέρεται ως αλυσίδα D.N.A ή κλώνος D.N.A. Οι δύο αλυσίδες συγκρατούνται μεταξύ τους με δεσμούς υδρογόνου. Η μια αλυσίδα είναι απολύτως συμπληρωματική ως προς την άλλη  (θετικό - αρνητικό, αρσενικό – θηλυκό, γιν – γιανγκ).

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 2^ο  = ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΔΥΑΔΑΣ  = ΚΑΘΕ ΜΟΡΙΟ D.N.A. ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΛΥΣΙΔΕΣ D.N.A.

                                                 

Τα νουκλεοτίδια από τα οποία αποτελείται το D.N.A. έχουν την εξής δομή:  αποτελούνται από μια πεντόζη, με την οποία συνδέονται μια ή περισσότερες φωσφορικές ομάδες και μια αζωτούχος βάση. Στην περίπτωση του D.N.A η βάση  μπορεί να είναι είτε αδενίνη (Α), είτε κυτοσίνη (C ), είτε γουανίνη (G), είτε θυμίνη (T). Επειδή οι 4 υπομονάδες διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τη βάση τους, κάθε πολυνουκλεοτιδική αλυσίδα του D.N.A. μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα κορδόνι στο οποίο είναι περασμένα 4 είδη από χάντρες.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 3^ο = ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΔΑΣ  = Η ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ D.N.A. ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΞΗΣ ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ ΒΑΣΕΙΣ  (ΑΔΕΝΙΝΗ - ΚΥΤΟΣΙΝΗ – ΓΟΥΑΝΙΝΗ  – ΘΥΜΙΝΗ )

                                           

Τα  νουκλεοτίδια από μόνα τους δεν μπορούν ν’αποτελέσουν αμινοξύ, γι’ αυτό τον λόγο τα νουκλεοτίδια ανά τρία συνδυάζονται και κωδικοποιούν είτε κάποιο αμινοξύ είτε έναρξη ή λήξη της μεταγραφής, της αντιγραφής και της μετάφρασης του D.N.A

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 4o = ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΤΡΙΑΔΑΣ = ΤΑ ΝΟΥΚΛΕΟΤΙΔΙΑ ΑΝΑ ΤΡΙΑ  ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΝ  ΕΝΑ ΑΜΙΝΟΞΥ

                                                                                                

Ευχαριστούμε την ιατρό, Μπουλταδάκη Κατερίνα για την βοήθεια της στην ανάπτυξη του θέματος του D.N.A.

Βλέπουμε λοιπόν, ότι στη δομική μας αλυσίδα οι 4 μονάδες της Πυθαγορείου Τετρακτύος παίζουν πολύ σημαντικό λόγο.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ  ΤΗΣ  ΜΟΝΑΔΑΣ = ΕΝΑ  ΜΟΡΙΟ D.N.A  ΕΙΝΑΙ Η ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΑΡΧΗ ΚΑΘΕ ΕΜΒΙΟΥ ΟΝΤΟΣ.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΔΥΑΔΑΣ  = ΚΑΘΕ ΜΟΡΙΟ D.N.A. ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΛΥΣΙΔΕΣ D.N.A.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΤΡΙΑΔΑΣ = ΤΑ ΝΟΥΚΛΕΟΤΙΔΙΑ ΑΝΑ ΤΡΙΑ  ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΝ ΕΝΑ ΑΜΙΝΟΞΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΔΑΣ  = Η ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΑ ΤΟΥ D.N.A. ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΞΗΣ ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ ΒΑΣΕΙΣ  (ΑΔΕΝΙΝΗ - ΚΥΤΟΣΙΝΗ – ΓΟΥΑΝΙΝΗ  – ΘΥΜΙΝΗ )

  (Συνεχίζεται σε δεύτερο μέρος λόγω της εκτάσεώς του)

Σας ευχαριστώ πολύ                
                                                              
                                                                         Ευγενία

Παραπομπές

(1) Ιάμβλιχος «Περί του Πυθαγορείου βίου» 1
(2) Τόμος 2, Σελ 32, Αποσπάσματα Ελλήνων Φιλοσόφων, έκδ. Didot, Παρίσι M DCCC LXVII
(3) Χρυσά Έπη - στίχοι: 47, 48

Βιβλιογραφία

Πυθαγόρου Βίος, Πορφύριος - εκδόσεις Πύρινος Κόσμος, 1978.

Περί του Πυθαγορείου βίου, Ιάμβλιχος, εκδόσεις Νέα Θέσις, 1997.

Αριθμητική Εισαγωγή, Νικόμαχος ο Γερασηνός, εκδόσεις Αίθρα

Θεολογούμενα της Αριθμητικής – Ιάμβλιχος - εκδ. Βιβλιoθήκη "Σφιγγός" του Πέτρου Γράβιγγερ - Αθήνα 1979

Σχόλια εις τα Χρυσά Έπη των Πυθαγορείων Φιλοσόφων - Ιεροκλής - (εκδ. Ιδεοθέατρον-Διμελή - Αθήνα 1999 - Ανατύπωσις εκ της Βιβλιοθήκης της Σφιγγός του Πέτρου Γράβιγγερ)

Περί του Πυθαγορικού Βίου - Ιάμβλιχος - εκδ.: Ζήτρος - Αθήνα 2001 (σελ.204)

«Ο Πυθαγόρας και η Μυστική Διδασκαλία του Πυθαγορισμού» - Πέτρου Γράβιγγερ - εκδ.: Βιβλιοθήκη «Σφιγγός» - Αθήναι 1982